近日，理学院朱志勇副教授在迭代函数系统的分离条件研究上取得进展，研究成果以“Separation properties for bi-Lipschitz iterated function systems”为题在《Fractals-Complex Geometry Patterns and Scaling in Nature and Society》发表。朱志勇副教授为论文唯一作者。

由迭代函数系统生成的分形集的研究最早源于Moran，目前的形式归功于Hutchinsion，开始流行于1993年。当研究这样的分形集时，通常会施加某种类型的分离条件。开集条件是其中最早且被广泛使用的重要条件之一。在开集条件的假设下，已诞生一大批重要的研究成果。1999年，Lau和Ngai聚焦有重叠结构的分形集，提出了另一个目前被广泛使用的分离条件—弱分离条件。弱分离条件比开集条件弱，但仍足够产生一大批好的结果。然而，除了一些简单的例子，开集条件和弱分离条件都是很难被验证的。即使能够验证，也可能与分形集本身一样奇特。因为这个原因，很多等价条件被提出。著名学者Falconer，Huchinsion，Bandt，Graf，Schief,，Lau等均在此方面开展过研究工作，具有相当的难度。目前的结果主要集中在自相似和自共形的情形。

文章中，作者把目前自相似和自共形的一些结果推广到了更一般的双Lipschitz映射迭代函数系统。聚焦不满足开集条件的情形，作者提出了一个比Lau和Ngai的弱分离条件更弱的分离条件—弱*分离条件。通过假设有界变差条件，作者证明了在双Lipschitz情形下，弱*分离条件是等价于Zerner的极限恒等式。特别的，在一维的情形，证明了弱*分离条件是等价于Ahlfors-David正则性，Assouad维数严格小于1，也等价于分形集有正的Hausdorff测度，其中Hausdorff维数严格小于1并由某个压力函数的零点给出。

在开集条件和弱分离条件的分别假设下，已诞生出很多重要的结果。一个很自然的问题，把条件减弱到作者提出的弱*分离条件，这些结果是否也成立？该研究结果有助于进一步了解具有重叠结构分形集更为深层次的分形结构，扩展对迭代函数系统分离性的认知，有望产生一批重要的结果，推动目前相对困难的有重叠结构分形集的研究。

该研究成果得到了陕西省有关项目的资助。

原文链接：https://dx.doi.org/10.1142/S0218348X22500980